题目内容
【题目】已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(其中a>0且a≠1).记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与
logabn+1的大小,并证明你的结论.
【答案】(1)bn=3n-2.(2)当a>1时,Sn>logabn+1,当0<a<1时,Sn<
logabn+1
【解析】
(1)设数列{bn}的公差为d,
由题意得∴bn=3n-2.
(2)由bn=3n-2,知Sn=loga(1+1)+loga+…+loga
=loga
而logabn+1=loga
,于是,比较Sn与
logabn+1的大小比较
(1+1)与
的大小.
取n=1,有1+1=>
=
,
取n=2,有(1+1)>
>
=
.
推测(1+1)…
>
,(*)
①当n=1时,已验证(*)式成立;
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)>
,
则当n=k+1时,
(1+1)>
.
∵-
=
>0,∴
,
从而(1+1),即当n=k+1时,(*)式成立.由①②知(*)式对任意正整数n都成立.于是,当a>1时,Sn>
logabn+1,当0<a<1时,Sn<
logabn+1
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