题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,平面
平面
,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:证明线面垂直,只需寻求线线垂直,利用题目提供的面面垂直,可以得到线面垂直,进而说明线线垂直;求二面角可采用建立空间直角坐标系,借助法向量求解,本题需要设,根据条件求出
,再利用法向量求出二面角的余弦.
试题解析:(1)证明:∵,
为
的中点,∴
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,∴
平面
,又
平面
,∴
.又
,
,∴
面
.
(2)方法一:由平面平面
,作
于
,则
面
.
作于
,连
,则
,由
,
,
知
,而
,
,故
,即
.
在四边形中,设
.
则由余弦定理得.
,设
与
交于点
,则
,
,而
,则
.
于是,即
,∴
或
(舍)
容易求得: ,而
.
故,由面
面
,则
面
,过
作
于
,连
,则
为二面角
的平面角,由平面几何知识易得
,
.
∴.
方法二:以点为原点,
为
轴,过点
与平面
垂直的直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设
,
,则
,
,
,
.
∴,
.由
,得
,∴
,则
,
,于是
,
,
∵,
∴,即
,解得
或
(舍),故
,则
,
,于是
,
,设平面
的法向量为
,则
即
,取
,则
,∴
.
不妨设平面的法向量
,则
,
故二面角的余弦值为
.
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