Question

13．在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．
 （I）若向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为锐角，求实数a的取值范围．
 （Ⅱ）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区城（含边界）内，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意求得$\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标，令$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（2-a）（3-a）＞0，求得实数a的取值范围．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=（m+2n，2m+n），由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，可得m-n=y-x，令y-x=t，由图利用线性规划知识求得m-n的最大值．

解答 解：（I）由题意可得 $\overrightarrow{AB}$=（2-a，3-a），$\overrightarrow{AC}$=（3-a，2-a），
若向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$夹角为锐角，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2（2-a）（3-a）＞0，求得a＜2或a＞3．
（Ⅱ）∵a=1，$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$=m（1，2）+n（2，1）=（m+2n，2m+n）（m，n∈R），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2n}\\{y=2m+n}\end{array}\right.$，可得m-n=y-x，令y-x=t，由图可知，
当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，
故m-n的最大值为：1．

点评 本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．