题目内容
【题目】如图（1）所示，在
中，
是
边上的高，且
，
，
是
的中点．现沿进行翻折，使得平面
平面
，得到的图形如图（2）所示．
（1）求证：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意，先根据面面垂直的性质定理，得到
平面
，再由线面垂直的性质，即可得出
；
（2）以
为原点，
，
，
所在的直线分别为
，
，
轴建立空间坐标系，设
，求出直线
的方向向量，以及平面
的一个法向量，由向量夹角公式，以及线面角与向量夹角的关系，即可得出结果.
（1）由图（1）知，在图（2）中，
，
，
∵平面
平面
，平面
平面
，
平面，
∴平面，又
平面，
∴；
（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，
不妨设，则
，
，
，
，
∴
，
，
，
设平面的法向量
，则
，即
，
令
，得
，
，则
是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角是
，
则
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
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【题目】手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）
年龄段 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人数 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？
年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | |
使用手机支付 | ||
不使用手机支付 |
（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考数据：
P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
．
