题目内容
【题目】如图(1)所示,在中,
是
边上的高,且
,
,
是
的中点.现沿
进行翻折,使得平面
平面
,得到的图形如图(2)所示.
(1)求证:;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由题意,先根据面面垂直的性质定理,得到平面
,再由线面垂直的性质,即可得出
;
(2)以为原点,
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴建立空间坐标系,设
,求出直线
的方向向量,以及平面
的一个法向量,由向量夹角公式,以及线面角与向量夹角的关系,即可得出结果.
(1)由图(1)知,在图(2)中,,
,
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,
∴平面
,又
平面
,
∴;
(2)以为原点,
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴建立如图所示的空间坐标系,
不妨设,则
,
,
,
,
∴,
,
,
设平面的法向量
,则
,即
,
令,得
,
,则
是平面
的一个法向量,
设直线与平面
所成的角是
,
则,
故直线与平面
所成角的正弦值为
.

【题目】手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)
年龄段 | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人数 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?
年龄低于45岁 | 年龄不低于45岁 | |
使用手机支付 | ||
不使用手机支付 |
(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:.