Question

20．求和S_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：S_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{4}$+$\frac{5}{8}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②可得$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{3}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
化简可得S_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，属于中档题．