题目内容
【题目】若函数对定义域内的每一个值
,在其定义域内都存在唯一的
,使
成立,则该函数为“依附函数”.
(1)判断函数是否为“依附函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域
上“依附函数”,求
的取值范围;
(3)已知函数在定义域
上为“依附函数”.若存在实数
,使得对任意的
,不等式
都成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)不是,理由见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)举出反例:取,但是不存在
,即可判定;
(2)根据依附函数的关系,结合在
递增,故
,即
,
,
即可求得取值范围;
(3)根据依附函数的关系结合单调性分析可得,将问题转化为存在
,使得对任意的
,有不等式
都成立,即关于t的不等式
恒成立,即可求解.
(1)对于函数的定义域
内存在
,则
,无解.
故不是“依附函数”;
(2)因为在
递增,故
,
即,
,
由,故
,得
,
从而在
上单调递增,故
,
(3)①若,故
在
上最小值为0,此时不存在
,舍去;
②若故
在
上单调递减,从而
,
解得(舍)或
.从而,存在
,使得对任意的
,
有不等式都成立,
即恒成立,
由,得
,
由,可得
,
又在
单调递减,
故当时,
,
从而,解得
,
综上,故实数的最大值为
.
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