题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
平面
，
是
的中点，
是
上一点，且
（1）求证:
平面；
（2）若
求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取PA的中点M，连接MD，ME，证明四边形MDFE是平行四边形，则
，再由直线与平面平行的判定可得
面PAD；
（2）过点P作
于点H，则
平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为y轴，过点H且平行于AB的直线为z轴，PH所在直线为x轴建立空间直角坐标系
，求出平面ABCD的一个法向量与
的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
（1）如图，取
的中点
，连接
.
则
，
.
又
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以，
因为
面
，
面，所以
（2）过点
作于点
，则平面
，以为坐标原点，
所在直线为
轴，过点且平行于
的直线为
轴，
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在等腰三角形中，
，
，
因为
，所以
，
解得
.
则
，所以
，所以
.
易知平面的一个法向量为
，
所以
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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