Question

【题目】已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式 ； 函数 （其中 ）．
（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，

∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，

g（θ）=sin2θ﹣m（3﹣cosθ）=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣ ，

∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，

g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（ ），cosθ=1（ ）， 处取得，

若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时 ，符合；

若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时 ，不符合；

若 ，g（θ）=4，则有 ，m=6+4 或m=6﹣4 ，此时 或3-2 ，不符合；

综上，m=﹣1

（2）解：∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，

又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，

由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，

又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，

∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，

当m＞ =

=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，

∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，

∴7≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[﹣1，﹣ ]，

此时，m＞﹣ ；

当m＜

=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6

=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，

∴6≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[0，6﹣4 ]，

此时，m＜0；

综上，m∈（﹣ ，0）

【解析】（1）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．