Question

一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：；为数表中第行的第个数．
求第2行和第3行的通项公式和；
证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求关于（）的表达式；
（3）若，，试求一个等比数列，使得，且对于任意的，均存在实数?，当时，都有．

Answer 1

(1),；（2）证明见解析，；（3）．

试题分析：（1）根据定义，，因此
，；（2）由于第行的数依赖于第的数，因此我们可用数学归纳法证明，设第行的公差为，
，而
，从而，即，于是有，由此可求得；（3）由（2）得，所以，那么可得，
，由于下面要求和，我们把变形为，为了能求和，我们可首先取，这样可得，，且当时，．因此当时，不等式，必定有解，取其中一个为即可．
试题解析：（1）
． （3分）
（2）由已知，第一行是等差数列，假设第行是以为公差的等差数列，则由
（常数）知第行的数也依次成等差数列，且其公差为.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；   （7分）
由于，所以，所以
，由，
得，            （9分）
于是 ，
即，又因为，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，，所以（）．   （12分）
（3） ，
，
令，      （14分）
．     （15分）
，
，
，
令，则当时，都有，
适合题设的一个等比数列为．           （18分）