题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,离心率为
.过定点
的直线
交椭圆
于不同的两点
,
(点
在点
,
之间).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若射线交椭圆
于点
(
为原点),求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,由题意,
, 又因
,得
.
由,解得
.即得出椭圆
的方程;
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,其方程为
,由
,得
,当直线
斜率存在时,设其为
,则直线
方程为
.由
,可得
则
(1)由
得
,判别式
,解得
,把韦达定理的式子带入(1)得出
,由
即可得出实数
的取值范围;
(Ⅲ)由椭圆的对称性可知, ,
,设点
到直线
的距离为
,由(Ⅱ)可知
,且
=
,利用基本不等式可求得
的最大值即可得出
面积的最大值.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
,由题意,
, 又因
,得
.
由,解得
.故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,其方程为
,此时,
,
,
,
,由
,得
.
当直线斜率存在时,设其为
,则直线
方程为
.
设,
,则
,
.
由,可得
则
. (1)
由 得
,即
.
判别式,解得
.
且,
, 将其代入(1)得,
,由
,
, 解得
.又因
在
,
之间,所以
.
综上可得, 的取值范围是
.
(Ⅲ)由椭圆的对称性可知, ,
.
设点到直线
的距离为
,由(Ⅱ)可知
,
且
==
=
=
=
.
当且仅当
,即
时取“=”,
即 , 故
面积的最大值为
.
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