题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,且
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,求使不等式
对一切
都成立的正整数
的最大值.
(3)设,是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)672(3)不存在,理由见解析
【解析】
(1)由数列的递推式,计算可得所求通项公式;
(2)求得,运用裂项相消求和可得
,判断
的单调性,可得最小值,即可得到
的最大值;
(3)讨论为奇数或偶数,假设存在
,计算可判断是否存在.
解:(1)因为,所以
,又因为
满足上式,所以
.
(2)由(1)可知,所以
,显然
随着
的增大而增大,故
的最小值为
,由
可得
.
(3)结论:不存在满足条件的.
理由如下:①当为奇数时
为偶数,则
,即
,所以
,解得
,矛盾.
②当为偶数时
为奇数,则
,即
,所以
,解得
,矛盾.综上所述,不存在满足条件的
.
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