已知函数f(x)对一切实数a.b满足f.f.数列{an}的通项an=$\frac{{{f^2}}$(n∈N+).则数列{an}的前n项和=4n．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，（且f（x）恒非零），数列{a_n}的通项a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$（n∈N₊），则数列{a_n}的前n项和=4n．

分析函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，可得f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），利用等比数列的通项公式可得f（n），即可得出a_n及其前n项和．

解答解：∵函数f（x）对一切实数a、b满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，
∴f（n+1）=f（n）f（1）=2f（n），
∴数列{f（n）}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴f（n）=2ⁿ．
∴数列{a_n}的通项a_n=$\frac{{{f^2}（n）+f（2n）}}{f（2n-1）}$=$\frac{{2}^{2n}+{2}^{2n}}{{2}^{2n-1}}$=4．
∴数列{a_n}的前n项和=4n．
故答案为：4n．

点评本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，则其圆心角的弧度数的绝对值为4$\sqrt{2}$．．

10．计算：sin$\frac{5π}{6}$•cos（-$\frac{π}{4}$）+sin$\frac{11π}{3}$cos$\frac{5π}{4}$．

7．对于正实数a，记M_a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：?x₁，x₂∈R且x₂＞x₁，有-a（x₂-x₁）＜f（x₂）-f（x₁）＜a（x₂-x₁）．下列结论中正确的是（　　）

	A．	若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，则f（x）•g（x）∈M${\;}_{{a}_{1}{a}_{2}}$
	B．	若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，且g（x）≠0，则$\frac{f（x）}{g（x）}$∈M${\;}_{\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}}$
	C．	若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，则f（x）+g（x）∈M${\;}_{{a}_{1}+{a}_{2}}$
	D．	若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，且a₁＞a₂，则f（x）-g（x）∈M${\;}_{{a}_{1}-{a}_{2}}$