题目内容
已知函数f(x)=mx-
,g(x)=2lnx
(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;
(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
m |
x |
(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;
(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
(1)m=2时,f(x)=2x-
,f′(x)=2+
,f′(1)=4,
切点坐标为(1,0),
∴切线方程为y=4x-4…(2分)
(2)m=1时,令h(x)=f(x)-g(x)=x-
-2lnx,
h′(x)=1+
-
=
≥0,
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4分)
又h(e)•h(
)=-(
-e+2)2<0,
∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点
∴在(0,+∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根…(6分)
(或说明h(1)=0也可以)
(3)mx-
-2lnx<2恒成立,即m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2-1>0,则当x∈(1,e]时,m<
恒成立,
令G(x)=
,只需m小于G(x)的最小值,
G′(x)=
,
∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G'(x)<0,
∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为G(e)=
,
则m的取值范围是(-∞,
).…(12分)
2 |
x |
2 |
x2 |
切点坐标为(1,0),
∴切线方程为y=4x-4…(2分)
(2)m=1时,令h(x)=f(x)-g(x)=x-
1 |
x |
h′(x)=1+
1 |
x2 |
2 |
x |
(x-1)2 |
x2 |
∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4分)
又h(e)•h(
1 |
e |
1 |
e |
∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点
∴在(0,+∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根…(6分)
(或说明h(1)=0也可以)
(3)mx-
m |
x |
又x2-1>0,则当x∈(1,e]时,m<
2x+2xlnx |
x2-1 |
令G(x)=
2x+2xlnx |
x2-1 |
G′(x)=
-2(x2lnx+lnx+2) |
(x2-1)2 |
∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G'(x)<0,
∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为G(e)=
4e |
e2-1 |
则m的取值范围是(-∞,
4e |
e2-1 |
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