题目内容

已知函数f(x)=mx-
m
x
,g(x)=2lnx
(1)当m=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当m=1时,证明方程f(x)=g(x)有且仅有一个实数根;
(3)若x∈(1,e]时,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求实数m的取值范围.
(1)m=2时,f(x)=2x-
2
x
f′(x)=2+
2
x2
,f′(1)=4

切点坐标为(1,0),
∴切线方程为y=4x-4…(2分)
(2)m=1时,令h(x)=f(x)-g(x)=x-
1
x
-2lnx

h′(x)=1+
1
x2
-
2
x
=
(x-1)2
x2
≥0

∴h(x)在(0,+∞)上为增函数.…(4分)
h(e)•h(
1
e
)=-(
1
e
-e+2)2<0

∴y=h(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点
∴在(0,+∞)内f(x)=g(x)有且仅有一个实数根…(6分)
(或说明h(1)=0也可以)
(3)mx-
m
x
-2lnx<2
恒成立,即m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2-1>0,则当x∈(1,e]时,m<
2x+2xlnx
x2-1
恒成立,
G(x)=
2x+2xlnx
x2-1
,只需m小于G(x)的最小值,
G′(x)=
-2(x2lnx+lnx+2)
(x2-1)2

∵1<x≤e,∴lnx>0,∴当x∈(1,e]时G'(x)<0,
∴G(x)在(1,e]上单调递减,
∴G(x)在(1,e]的最小值为G(e)=
4e
e2-1

则m的取值范围是(-∞,
4e
e2-1
)
.…(12分)
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