题目内容
【题目】已知函数
(1)求函数的极值;
(2)若时,函数
有且只有一个零点,求实数
的值;
(3若,对于区间
上的任意两个不相等的实数
,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,f (x)无极值;当
时,f (x)有极小值
,无极大值(2)
(3)
【解析】(1)
当时,
,f (x)在
上递增,f (x)无极值
当时,
时,
,f (x)递减;
时,
,f (x)递增,所以f (x)有极小值
综上,当时,f (x)无极值;当
时,f (x)有极小值
,无极大值
(2),则
因为,令
,得
,故h (x)在
上递减,在
上递增,所以h (x)有极小值
且 联立可得
令,得
,故m (x)在
上递增
又m (1) = 0,所以,即
(3)不妨令,因为0 < a < 1,则
由(1)可知,因为
所以
所以在[1,2]上递增
所以在[1,2]上恒成立,
即在[1,2]上恒成立 令
,则
,
所以
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