题目内容

(本大题满分14分)
已知△的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于
(Ⅰ)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(Ⅱ)当时,过点的直线交曲线两点,设点关于轴的对称点为(不重合).求证直线轴的交点为定点,并求出该定点的坐标.

(1) (1) 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点
(2) 直线过定点  

解析试题分析:(Ⅰ)由题知: 
化简得:                  ……………………………2分
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点;
……………………………6分
(Ⅱ)设 
依题直线的斜率存在且不为零,则可设:
代入整理得
,               ………………………………9分
又因为不重合,则
的方程为 令

故直线过定点.                        ……………………………13分
解二:设
依题直线的斜率存在且不为零,可设:
代入整理得:
,,                ……………………………9分
的方程为  令

直线过定点                        ……………………………13分
考点:考查了圆锥曲线方程,以及直线与圆锥曲线的位置关系
点评:解决含参数的曲线方程的问题,主要是关注我们方程的特点来分类讨论得到,同时能结合设而不求的思想求解坐标,进而求解直线方程,属于中档题。

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