题目内容
(本小题满分14分)
如图,设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定点,点到的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)(2)存在定点为或满足要求
解析试题分析:(1)设,则有, ……1分
……2分
由最小值为得, ……3分
∴椭圆的方程为. ……4分
(2)①当直线斜率存在时,设其方程为 ……5分
把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切,∴,
化简得 ……7分
同理, ……8分
∴,若,则重合,不合题意,∴ ……9分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,
则,即, ……10分
把代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
则,解得; ……12分
②当直线斜率不存在时,其方程为和, ……13分
定点到直线的距离之积为;
定点到直线的距离之积为;
综上所述,满足题意的定点为或 ……14分
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.
点评:每年高考都会考查圆锥曲线问题