题目内容

(本小题满分14分)
如图,设点分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为

(1)求椭圆的方程;
(2)若动直线均与椭圆相切,且,试探究在轴上是否存在定点,点的距离之积恒为1?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.

(1)(2)存在定点满足要求

解析试题分析:(1)设,则有         ……1分
                   ……2分
最小值为,                    ……3分
∴椭圆的方程为.                                         ……4分
(2)①当直线斜率存在时,设其方程为            ……5分
的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切,∴
化简得                                                     ……7分
同理,                                                     ……8分
,若,则重合,不合题意,∴                  ……9分
设在轴上存在点,点到直线的距离之积为1,
,即,                         ……10分
代入并去绝对值整理,
或者
前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的恒成立
,解得;                                             ……12分
②当直线斜率不存在时,其方程为,                ……13分
定点到直线的距离之积为
定点到直线的距离之积为
综上所述,满足题意的定点                           ……14分
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程,椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.
点评:每年高考都会考查圆锥曲线问题

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