题目内容
【题目】已知函数,其中a,
.
(I)若直线是曲线
的切线,求ab的最大值;
(Ⅱ)设,若关于x的方程
有两个不相等的实根,求a的最大整数值.(参考数据:
)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(I)设出直线与
相切的切点坐标为
,然后对函数进行求导,这样可以得到
,切点又在直线
上,这样可以得到
,则有
,设函数
,求导,判断函数
的单调性,最后求出函数
的最大值,也就求出ab的最大值;
(Ⅱ)方法1:原方程化为,令
进行换元,方程等价于
,构造函数
,原问题等价于函数
需有两个不同的零点.对函数
进行求导,根据函数
的导函数的单调性,可以知道
在
上存在唯一实根
,这样可以判断出函数
的单调性,然后根据
的正负性进行分类讨论,根据函数的单调性最后求出a的最大整数值.
方法2:原方程即为,设
,
则原方程等价于关于的方程
有两个不同的解,
即关于的方程
)有两个不同的解.构造函数
,求导得,得到函数的单调性,最后求出a的最大整数值.,
解:(I)设直线与
相切于点
.
因为,所以
所以.
又因为P在切线上,所以
所以,
,
因此.
设,
则由
解得.
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
可知的最大值为
,
所以的最大值为
.
(Ⅱ)方法1:原方程即为,
设,则上述方程等价于
.
设,则函数
需有两个不同的零点.
因为在
上单调递减,
且在
上存在唯一实根
,
即,即
.
所以当时,
,当
时,
.
因此在
上单调递增,在
上单调递减.
若,则
.
,
不合题意,舍去.
若,则
.
当时,则
,
取,则
;
当时,则
,
取,则
.
由此,且
,
.
要使函数有两个不同的零点,
则只需,
所以只需.
因为是关于
的增函数.
且,
所以存在使得
,
所以当时,
.
因为是关于
的减函数,
所以
又因为,
所以的最大整数值为
.
方法2:原方程即为,设
,
则原方程等价于关于的方程
有两个不同的解,
即关于的方程
)有两个不同的解.
设,则
.
设,
由知
,所以
在区间上单调递减,又
,
所以存在使得
.
当时,
,
;当
时,
,
.
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
所照.
要使得关于的方程
有两个不同的解,则
.
当时,设
,
则,可知
在
上单调递增,
在单调递减.
又,
,
,
有两个不同的零点,符合题意.
所以的最大整数值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对两位选手,随机调查了
个学生的评分,得到下面的茎叶图:
通过茎叶图比较
两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流:
所得分数 | 低于 |
| 不低于 |
分流方向 | 淘汰出局 | 复赛待选 | 直接晋级 |
记事件“
获得的分流等级高于
”,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求事件
发生的概率.