题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)过点
,
、
分别为其左、右焦点,
为坐标原点,点
为椭圆上一点,
轴,且
的面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率和方程;
(Ⅱ)设、
是椭圆上两动点,若直线
的斜率为
,求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由的面积为
,得
,结合
求
即可;
(Ⅱ)设直线的方程为
,与
联立,
,
到直线
的距离为
,结合韦达定理得
,用均值不等式求最值即可.
试题解析:
(Ⅰ)因为椭圆:
(
)过点
,所以
,由
轴,且
的面积为
,得
,所以
,即离心率
.
因为,所以
,
由解得
(舍负),故椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)设直线的方程为
,与
联立,
消去,整理得
,
由
,得
,
,
,
故
,
易知点到直线
的距离为
,
则的面积
,
当且仅当,即
时取“
”,经检验,满足要求,
故面积的最大值为
.
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