题目内容
【题目】已知直线l1：（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0，圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+9=0．
（1）判断直线l1与圆的位置关系，并证明你的结论；
（2）直线l2过直线l1的定点且l1⊥l2 ， 若l1与圆C交与A，B两点，l2与圆C交与E，F两点，求AB+EF的最大值．
【答案】
（1）解：直线与圆相交
证明：直线方程可整理为（x﹣2y+2）+（4x+3y﹣14）k=0
所以 
解得 
所以直线过定点P（2，2）
圆C方程可整理为（x﹣3）2+（y﹣4）2=16
因为圆心C到点P（2，2）的距离d为 
由 
，所以直线与圆C相交
（2）解：设点C到直线AB，EF的距离分别为d1，d2（d1，d2≥0）
则 
又 
所以 
则 
= 
= 
= 
又因为 
所以 
（当且仅当 
时取到等号）
所以 
所以 
所以 
所以AB+EF的最大值为 
【解析】（1）直线方程可整理为（x﹣2y+2）+（4x+3y﹣14）k=0，可得直线过定点；求出圆心C到点P（2，2）的距离，与半径比较，可得可得直线l1与圆的位置关系；（2） ，利用基本不等式，即可求AB+EF的最大值．
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