题目内容
【题目】已知直线l1:(1+4k)x﹣(2﹣3k)y+(2﹣14k)=0,圆C:x2+y2﹣6x﹣8y+9=0.
(1)判断直线l1与圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)直线l2过直线l1的定点且l1⊥l2 , 若l1与圆C交与A,B两点,l2与圆C交与E,F两点,求AB+EF的最大值.
【答案】
(1)解:直线与圆相交
证明:直线方程可整理为(x﹣2y+2)+(4x+3y﹣14)k=0
所以 解得
所以直线过定点P(2,2)
圆C方程可整理为(x﹣3)2+(y﹣4)2=16
因为圆心C到点P(2,2)的距离d为
由 ,所以直线与圆C相交
(2)解:设点C到直线AB,EF的距离分别为d1,d2(d1,d2≥0)
则
又
所以
则 =
=
=
又因为
所以 (当且仅当
时取到等号)
所以
所以
所以
所以AB+EF的最大值为
【解析】(1)直线方程可整理为(x﹣2y+2)+(4x+3y﹣14)k=0,可得直线过定点;求出圆心C到点P(2,2)的距离,与半径比较,可得可得直线l1与圆的位置关系;(2) ,利用基本不等式,即可求AB+EF的最大值.
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