题目内容

【题目】已知函数.

(1)若函数,求的极值;

(2)证明:.

(参考数据:

【答案】(1)见解析;(2)见证明

【解析】

1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;

2)问题转化为证exx2xlnx10,根据xlnxxx1),问题转化为只需证明当x0时,ex2x2+x10恒成立,令kx)=ex2x2+x1,(x0),根据函数的单调性证明即可.

(1),当

上递增,在上递减,取得极大值,极大值为,无极大值.

(2)要证fx+1exx2

即证exx2xlnx10

先证明lnxx1,取hx)=lnxx+1,则h′(x)=

易知hx)在(01)递增,在(1+∞)递减,

hx)≤h1)=0,即lnxx1,当且仅当x1时取“=”,

xlnxxx1),exx2xlnxex2x2+x1

故只需证明当x0时,ex2x2+x10恒成立,

kx)=ex2x2+x1,(x0),则k′(x)=ex4x+1

Fx)=k′(x),则F′(x)=ex4,令F′(x)=0,解得:x2ln2

F′(x)递增,故x02ln2]时,F′(x)≤0Fx)递减,即k′(x)递减,

x2ln2+∞)时,F′(x)>0Fx)递增,即k′(x)递增,

k′(2ln2)=58ln20k′(0)=20k′(2)=e28+10

由零点存在定理,可知x102ln2),x22ln22),使得k′(x1)=k′(x2)=0

0xx1xx2时,k′(x)>0kx)递增,当x1xx2时,k′(x)<0kx)递减,故kx)的最小值是k0)=0kx2),由k′(x2)=0,得4x21

kx2)=2+x21=﹣(x22)(2x21),∵x22ln22),∴kx2)>0

x0时,kx)>0,原不等式成立.

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