Question

【题目】已知函数.

（1）若函数，求的极值；

（2）证明：.

（参考数据： ）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见证明

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）问题转化为证ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，根据xlnx≤x（x﹣1），问题转化为只需证明当x＞0时，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），根据函数的单调性证明即可．

（1），，当，，

当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.

（2）要证f（x）+1＜ex﹣x2．

即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，

先证明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，则h′（x）＝，

易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时取“＝”，

故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1，

故只需证明当x＞0时，ex﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，

令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），则k′（x）＝ex﹣4x+1，

令F（x）＝k′（x），则F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝2ln2，

∵F′（x）递增，故x∈（0，2ln2]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，

x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，

且k′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k′（0）＝2＞0，k′（2）＝e2﹣8+1＞0，

由零点存在定理，可知x1∈（0，2ln2），x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）＝k′（x2）＝0，

故0＜x＜x1或x＞x2时，k′（x）＞0，k（x）递增，当x1＜x＜x2时，k′（x）＜0，k（x）递减，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，

k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，

故x＞0时，k（x）＞0，原不等式成立．