题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数,求的极值;
(2)证明:.
(参考数据: )
【答案】(1)见解析;(2)见证明
【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;
(2)问题转化为证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣2x2+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣2x2+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.
(1),,当,,
当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.
(2)要证f(x)+1<ex﹣x2.
即证ex﹣x2﹣xlnx﹣1>0,
先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,
易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,
故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1,
故只需证明当x>0时,ex﹣2x2+x﹣1>0恒成立,
令k(x)=ex﹣2x2+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,
令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=2ln2,
∵F′(x)递增,故x∈(0,2ln2]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,
x∈(2ln2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,
且k′(2ln2)=5﹣8ln2<0,k′(0)=2>0,k′(2)=e2﹣8+1>0,
由零点存在定理,可知x1∈(0,2ln2),x2∈(2ln2,2),使得k′(x1)=k′(x2)=0,
故0<x<x1或x>x2时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x2时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x2),由k′(x2)=0,得=4x2﹣1,
k(x2)=﹣2+x2﹣1=﹣(x2﹣2)(2x2﹣1),∵x2∈(2ln2,2),∴k(x2)>0,
故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.
【题目】某公司准备上市一款新型轿车零配件,上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销.定价为1000元/件.试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 40 | 60 | 80 | 100 |
频数 | 9 | 12 | 6 | 3 |
(1)若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件,求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率;
(2)试销结束后,这款零件正式上市,每个定价仍为1000元,但生产公司对该款零件不零售,只提供零件的整箱批发,大箱每箱有60件,批发价为550元/件;小箱每箱有45件,批发价为600元/件.该4S店决定每天批发两箱,根据公司规定,当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S店.假设该4店试销后的连续30天的日销售量(单位:件)的数据如下表:
日销售量 | 50 | 70 | 90 | 110 |
频数 | 5 | 15 | 8 | 2 |
(ⅰ)设该4S店试销结束后连续30天每天批发两大箱,这30天这款零件的总利润;
(ⅱ)以总利润作为决策依据,该4S店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱?
【题目】针对时下的“抖音热”,某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢抖音的人数占男生人数的,女生喜欢抖音的人数占女生人数,若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有( )人
附表:
0.050 | 0.010 | |
k | 3.841 | 6.635 |
附:
A.25或45B.45C.45或60D.75或60