题目内容
在△ABC中,的垂直平分线分别交AB,AC于E,E(图一),沿DE将△ADE折起,使得平面ADE⊥平面BDEC(图二)
(1)若F是AB的中点,求证:平面ACD⊥平面ADE
(2)P是AC上任意一点,求证:平面ACD⊥平面PBE
(3)P是AC上一点,且AC⊥平面PBE,求二面角P-BE-C的大小
(1)若F是AB的中点,求证:平面ACD⊥平面ADE
(2)P是AC上任意一点,求证:平面ACD⊥平面PBE
(3)P是AC上一点,且AC⊥平面PBE,求二面角P-BE-C的大小
略
(1)取BD的中点为M,连续FM,CM
为AB的中点,MF//AD,
由题知为等边三角形,
BD,又DEBD 2分
面CFM//面ADE,
面CMF,CF//面ADE 4分
(2)由平面几何知识:BECD,ADDE,平面ADE平面BDEC 5分
平面BDEC,
面ACD
面PBE,平面ACD平面PBE 8分
(3)法一,由(2)BE面ACD,
设,
由题意知BECD,BEPQ,
PQC为二面角P—BE—C的平面角 10分
AD=CD,
二面角P—BE—C的大小为45° 12分
(法二)
建立空间直角坐标系{DE、DB、DA},A(0,0,1),
则 9分
面PBE,AD面BCED
设二面角P—BE—C的大小为,
则 11分
二面角P—BE—C的大小为45° 12分
为AB的中点,MF//AD,
由题知为等边三角形,
BD,又DEBD 2分
面CFM//面ADE,
面CMF,CF//面ADE 4分
(2)由平面几何知识:BECD,ADDE,平面ADE平面BDEC 5分
平面BDEC,
面ACD
面PBE,平面ACD平面PBE 8分
(3)法一,由(2)BE面ACD,
设,
由题意知BECD,BEPQ,
PQC为二面角P—BE—C的平面角 10分
AD=CD,
二面角P—BE—C的大小为45° 12分
(法二)
建立空间直角坐标系{DE、DB、DA},A(0,0,1),
则 9分
面PBE,AD面BCED
设二面角P—BE—C的大小为,
则 11分
二面角P—BE—C的大小为45° 12分
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