题目内容

【题目】已知各项均大于1的数列{an}满足:a1= ,an+1= (an+ ),(n∈N*),bn=log5
(1)证明{bn}为等比数列,并求{bn}通项公式;
(2)若cn= ,Tn为{cn}的前n项和,求证:Tn<6.

【答案】
(1)证明:由an+1= (an+ ),可得:

bn+1=log5 =log5 =log52=2log5

即有 = =2,

则{bn}是首项为b1=log5 =1,公比为2的等比数列;

且bn=b1qn1=2n1


(2)证明:cn= = =(n+1)( n1

可得Tn=21+3 +4( 2+…+(n+1)( n1

Tn=2 +3( 2+4( 3+…+(n+1)( n

两式相减可得, Tn=2+[ +( 2+( 3+…+( n1]﹣(n+1)( n

=2+ ﹣(n+1)( n=3﹣

则Tn=6﹣ <6成立.


【解析】(1)运用对数的运算性质,结合等比数列的定义,可得 =2,即可得证,再由等比数列的通项公式即可得到所求;(2)求得cn= =(n+1)( n1 , 运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式可得Tn , 由不等式的性质即可得证.
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式(及其变式)和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握通项公式:;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.

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