题目内容
【题目】已知各项均大于1的数列{an}满足:a1= ,an+1= (an+ ),(n∈N*),bn=log5 .
(1)证明{bn}为等比数列,并求{bn}通项公式;
(2)若cn= ,Tn为{cn}的前n项和,求证:Tn<6.
【答案】
(1)证明:由an+1= (an+ ),可得:
bn+1=log5 =log5 =log5( )2=2log5 ,
即有 = =2,
则{bn}是首项为b1=log5 =1,公比为2的等比数列;
且bn=b1qn﹣1=2n﹣1;
(2)证明:cn= = =(n+1)( )n﹣1,
可得Tn=21+3 +4( )2+…+(n+1)( )n﹣1,
Tn=2 +3( )2+4( )3+…+(n+1)( )n,
两式相减可得, Tn=2+[ +( )2+( )3+…+( )n﹣1]﹣(n+1)( )n
=2+ ﹣(n+1)( )n=3﹣ ﹣ ,
则Tn=6﹣ <6成立.
【解析】(1)运用对数的运算性质,结合等比数列的定义,可得 =2,即可得证,再由等比数列的通项公式即可得到所求;(2)求得cn= =(n+1)( )n﹣1 , 运用数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式可得Tn , 由不等式的性质即可得证.
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式(及其变式)和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握通项公式:;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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