Question

【题目】如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC=2

（1）求证：AM⊥平面EBC
（2）（文）求三棱锥C﹣ABE的体积．
（3）（理）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，

∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，

∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，以AC和AE为y轴和z轴，

建立如图空间直角坐标系A﹣xyz．

设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），

∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M（0，1，1）．

=（0，1，1）， =（0，2，﹣2）， =（2，0，0），

∴ =0， =0，∴AM⊥EC，AM⊥CB，

∴AM⊥平面EBC

（2）解：VC﹣ABE=VE﹣ABC= =
（3）解：设平面EAB的法向量为 =（x，y，z），

则 ，且 ，

∴ ，且 ．

∴ ，取x=1，得 =（1，﹣1，0）．

又∵ 为平面EBC的一个法向量，且 =（0，1，1），

∴cos＜ ＞= =﹣ ，

设二面角A﹣EB﹣C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜ ＞|= ，

∴θ=60°．

∴二面角A﹣EB﹣C的大小为60°．

【解析】（1）推导出EA⊥AC，从而EA⊥平面ABC，以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，以AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．（2）（文）由VC﹣ABE=VE﹣ABC ， 能求出三棱锥C﹣ABE的体积．（3）（理）求出平面EAB的法向量和平面EBC的一个法向量，利用向量法能求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．