Question

16．如图，点A（2，0）是一定点，定圆的方程是x²+y²=4，在定圆上取两点B、C，使得∠BAC=$\frac{π}{3}$，求△ABC的垂心G的轨迹方程．

Answer 1

分析 根据圆的性质结合图形进行分析，这里牵涉到角的运算，所以可把圆的方程转化为参数方程进行运算．

解答 解：当三角形的外心O为坐标原点时，垂心H（x₁+x₂+x₃，y₁+y₂+y₃）．
本题中，因为∠BAC=$\frac{π}{3}$，所以∠BOC=$\frac{2π}{3}$，
故设B（2cosθ，2sinθ），C（2cos（θ+$\frac{2π}{3}$），2sin（θ+$\frac{2π}{3}$）），垂心H（x，y），所以，
x=2+2cosθ+2cos（θ+$\frac{2π}{3}$），即x-2=2[cosθ+cos（θ+$\frac{2π}{3}$）]，-----①
y=2sinθ+2sin（θ+$\frac{2π}{3}$），即y=2[sinθ+sin（θ+$\frac{2π}{3}$）]，---------②
①②两式平方相加得，（x-2）²+y²=4[1+1+2cos$\frac{2π}{3}$]=4，
即垂心H的轨迹方程为：（x-2）²+y²=4．

点评 本题主要考查求轨迹方程，解决与平面几何有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，这样会使问题的解决简便些．