Question

6．已知a是实数，方程4ax²-（4a+2）x+5a+1=0在区间[2，+∞）上至少有一个实根，则实数a的取值范围为（0，$\frac{3}{13}$]．

Answer 1

分析 对函数类型和根的个数进行讨论，列出不等式解出．

解答 解：令f（x）=4ax²-（4a+2）x+5a+1，
（1）若4a=0，即a=0，则f（x）=-2x+1，
∴f（x）的零点为x=$\frac{1}{2}$∉[2，+∞）．
（2）若4a≠0，即a≠0时，f（x）为二次函数，
①若f（x）在区间[2，+∞）上只有一个实根，
若△=0，即（4a+2）²-16a（5a+1）=0，解得a=±$\frac{1}{4}$，
则$\frac{4a+2}{8a}≥2$，无解．
若△＞0，即（4a+2）²-16a（5a+1）＞0，解得-$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{4}$且a≠0．
则$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{16a-2（4a+2）+5a+1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{16a-2（4a+2）+5a+1≥0}\end{array}\right.$，
解得0＜a$≤\frac{3}{13}$
②若f（x）在区间[2，+∞）上有两个实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{△＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{△＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{4a＞0}\\{（4a+2）^{2}-16a（5a+1）＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{13a-3≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{4a＜0}\\{（4a+2）^{2}-16a（5a+1）＞0}\\{\frac{4a+2}{8a}＞2}\\{13a-3≤0}\end{array}\right.$．
无解．
综上所述：a的取值范围是（0，$\frac{3}{13}$]．

点评 本题考查了二次函数零点的个数与系数之间的关系，属于中档题．