Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4ax，x≥0}\\{-{x}^{2}-3ax，x＜0}\end{array}\right.$，a∈R
（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=a-3有三个不同的根，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a＞0时，x≥0时，求得f（x）的最小值，x＜0时，配方求得最大值，由题意可得-4a²＜a-3＜$\frac{9}{4}$a²，解不等式可得a的范围；再由当a≤0时，判断单调性可得a的范围；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，即为f（x）_max-f（x）_min≤4，讨论a＜0，a=0，a＞0，分当a≥$\frac{2}{3}$时，当$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$时，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，考虑对称轴和区间[-1，1]的关系，可得最值，解不等式可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a＞0时，x≥0时，f（x）=x²-4ax=（x-2a）²-4a²，
可得x=2a取得最小值，且为-4a²，
x＜0时，f（x）=-x²-3ax=-（x+$\frac{3a}{2}$）²+$\frac{9}{4}$a²，
可得x=-$\frac{3}{2}$a时，f（x）取得最大值$\frac{9}{4}$a²．
由题意可得-4a²＜a-3＜$\frac{9}{4}$a²，
解得a＞$\frac{3}{4}$；
当a≤0时，x≥0时f（x）递增，x＜0时，f（x）递增，
即有f（x）为R上的增函数，
故不存在a，使得f（x）=a-3有三个不同的根．
综上可得a的范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）；
（Ⅱ）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
即为f（x）_max-f（x）_min≤4，
当a≤0时，f（x）为R上的增函数，
即有4≥f（1）-f（-1）=1-4a-（-1+3a），
解得-$\frac{2}{7}$≤a≤0；
当a＞0时，当a≥$\frac{2}{3}$时，即有对称轴x=-$\frac{3}{2}$a≤-1，x=2a≥$\frac{4}{3}$＞1，
即有f（x）在[-1，1]递减，可得f（1）最小，且为1-4a，
f（-1）最大，且为-1+3a，由4≥f（-1）-f（1）=-2+7a，
解得$\frac{2}{3}$≤a≤$\frac{6}{7}$；
当$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$时，即有对称轴x=-$\frac{3}{2}$a＞-1，x=2a≥1，
可得最小值为f（1）=1-4a，最大值为f（-$\frac{3}{2}$a）=$\frac{9}{4}$a²，
由4≥$\frac{9}{4}$a²-1+4a，解得$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{2}{3}$；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，即有对称轴x=-$\frac{3}{2}$a＞-1，x=2a＜1，
可得最小值为f（2a）=-4a²，最大值为f（-$\frac{3}{2}$a）=$\frac{9}{4}$a²，
由4≥$\frac{9}{4}$a²+4a²，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
综上可得a的范围是-$\frac{2}{7}$≤a≤$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数方程的转化思想和不等式恒成立问题的解法，注意转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．