题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，点
和
分别为
和
的中点,侧棱
底面
.
（1）求证：
//平面
；
（2）求二面角
的正弦值
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据题意,以
为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明
与平面
的法向量垂直,来证明
//平面.
（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系,分别求得平面
的法向量
与平面
的法向量
,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角
的正弦值.
（1）证明：根据题意,以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系:
点
和
分别为
和
的中点, 
,
则
,则
,则
所以
依题意可知
为平面
的一个法向量
而
所以
又因为直线
平面
所以
平面
（2）
设
为平面的法向量,
则
,即
不妨设
,可得
设
为平面的一个法向量,
则
,又
,得
不妨设,可得
因此有
,
于是
所以二面角
的正弦值为
巧学巧练系列答案
【题目】随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
满意度评分 | [0，2） | [2，4） | [4，6） | [6，8） | [8，10] |
频数 | 5 | 10 | a | 32 | 16 |
频率 | 0.05 | b | 0.37 | c | 0.16 |
(1)求表格中的a，b，c的值；
(2)估计用户的满意度评分的平均数；
(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？
【题目】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：
甲厂：
分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙厂：
分组 | [29.86，29.90） | [29.90，29.94） | [29.94，29.98） | [29.98，30.02） | [30.02，30.06） | [30.06，30.10） | [30.10，30.14） |
频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
（2）由以上统计数据填下面
列联表，并问是否有
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲 厂 | 乙 厂 | 合计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
合计 |
附： 
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