Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ x2﹣（1+a）x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意正整数m，n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= +x﹣（1+a），

①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，

故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；

若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．

②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；

单调增区间是（0，a），（1，+∞）．

③当a=1时，则f′（x）= ≥0，

故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；

④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；

函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．

（2）解：由于f（1）=﹣ ，

当a＞0时，f（1）＜0，

此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．

当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣ ，

此时，f（1）≥0，解得a≤﹣ ，

故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣ ）．

（3）解：由（2）知，当a=﹣ 时，

f（x）=﹣ lnx+ x2﹣ x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，

这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．

当x＞1时，变换为 ＞ = ﹣ ，

因此不等式左边＞（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ = ，

从而得证．

【解析】（1）求出f（x）的导数，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（2）由于f（1）=﹣ ，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣ ，由此能求出实数a的取值范围．（3）由（2）知，当a=﹣ 时，f（x）≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．