题目内容
【题目】选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 
．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；
（Ⅱ）试判断：曲线C1和C2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；
（Ⅲ）设
是曲线C1上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）2．（Ⅲ） 
．
【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数t可得曲线C1的方程是
和轨迹,
利用极值互化公式可得
的方程和轨迹.
（Ⅱ）联立方程
结合图形对称性知公共点的个数为2．
（Ⅲ）由C1的参数方程
可得 a + 2b的取值范围是
．
试题解析：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是
．
所以曲线C1表示以
为焦点，中心为原点的椭圆．
同理曲线C2的方程是
．
所以曲线C2表示以
为圆心，半径是1的圆．
（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得
．
消去x，得
，解得
或
．
由图形对称性知公共点的个数为2．
（Ⅲ）a + 2b的取值范围是
．
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