Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3，a∈R． （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与x轴无交点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=bx+5﹣2b，b∈R．当a=0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与x轴无交点， ∴方程f（x）=0的判别式△＜0，
∴16﹣4（a+3）＜0，解得a＞1，
∴a的取值范围为（1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣4x+a+3的对称轴是x=2，
∴y=f（x）在[﹣1，1]上是减函数，
∵y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，
∴必有： ，即 ，
解得：﹣8≤a≤0，
故实数a的取值范围为﹣8≤a≤0；
（Ⅲ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2），
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）值域的子集．
当a=0时，f（x）=x2﹣4x+3的对称轴是x=2，∴y=f（x）的值域为[﹣1，3]，
下面求g（x）=bx+5﹣2b，x∈[1，4]的值域，
①当b=0时，g（x）=5，不合题意，舍
②当b＞0时，g（x）=bx+5﹣2b的值域为[5﹣b，5+2b]，只需要 ，解得b≥6
③当b＜0时，g（x）=bx+5﹣2b的值域为[5+2b，5﹣b]，只需要 ，解得b≤﹣3
综上：实数b的取值范围b≥6或b≤﹣3
【解析】（Ⅰ）根据题意，可以将问题转化为二次函数对应的方程无实数根，利用△＜0列出不等关系式，求解即可得到a的取值范围；（Ⅱ）根据二次函数的对称轴为x=2，可以判断出二次函数在去甲[﹣1，1]上的单调性，再根据零点的存在性定理列出不等式组，求解即可得到a的取值范围；（Ⅲ）根据题意，将问题转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）值域的子集，根据二次函数的性质，即可求得f（x）的值域，对于g（x），对其一次项系数进行分类讨论，分别得到g（x）的值域，分别求解，即可得到b的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．