Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）．
（1）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，求实数a，b的值；
（2）若b=1，对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立，则a的范围；
（3）若b=1，对任意a∈[2，3]，g（x）≥0恒成立，则x的范围；
（4）在（1）的条件下记f（x）=g（|x|），若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，g（x）的对称轴为：x=1，开口朝上；

g（x）在[2，3]上单调递增，故有

解得：

（2）解：由b=1知，g（x）=ax2﹣2ax+2；

对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax2﹣2ax+2≥0⊕；

∴x∈[1，2）∴﹣1≤x2﹣2x＜0；

化简⊕后：a≤﹣ ，令h（x）=﹣ ，即h（x）在x∈[1，2）上的最小值h（﹣1）=2；

∴a≤2

（3）解：由b=1知，g（x）=ax2﹣2ax+2=（x2﹣2x）a+2≥0；

令h（a）═（x2﹣2x）a+2；

①当x2﹣2x=0，即 x=0或2，式在a∈[2，3]时成立；

②当x2﹣2x＞0时，即x＜0或x＞2，h（a）在[2，3]是增函数，需h（2）≥0（x2﹣2x）×2+2≥0

解得：x＜0或x＞2

③当x2﹣2x＜0 时，即0＜x＜2，h（a）在[2，3]上是减函数，需h（3）≥0（x2﹣2x）×3+2≥0

解得：0＜x≤1﹣ 或 1+ ≤x＜2

综上所述：x≤1﹣ 或≥1+

（4）解：由（1）知g（x）=x2﹣2x+1；

f（x）=g（|x|）=|x|2﹣2|x|+1，f（2）=1

当f（x）＞1时，解得x＞2或x＜﹣2

要使得f（log2k）＞3，即：log2k＞2或log2k＜﹣2

解得：k＞4或k＜

【解析】（1）根据对称轴判断g（x）在区间[2，3]上为单调增函数，列出等式即可；（2）对任意x∈[1，2），g（x）≥0恒成立即ax2﹣2ax+2≥0a≤﹣ ；（3）由题意g（x）=ax2﹣2ax+2=（x2﹣2x）a+2≥0；令h（a）═（x2﹣2x）a+2，即转为关于a的一次函数求解；（4）由（1）知g（x）=x2﹣2x+1；f（x）=g（|x|）=|x|2﹣2|x|+1，f（2）=1当f（x）＞1时，解得x＞2或x＜﹣2；要使得f（log2k）＞3，即：log2k＞2或log2k＜﹣2；
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．