Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x）且满足f（1+x）=-f（3-x），且f（1）≠0，若函数g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零点，则f（2018）+f（2019）=（　　）

A. 1 B. C. D. 3

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意，由f（1+x）=-f（3-x）变形可得f（x）=-f（4-x），由函数的奇偶性可得f（x）=-f（-x），综合可得-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函数f（x）为周期为4的周期函数，据此可得f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），分析可得f（2）=-f（-2）=0；对于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，由函数奇偶性的定义可得函数g（x）为偶函数，结合函数零点个数分析可得g（0）=f（1）-3=0，则f（1）=3，结合f（x）的周期性可得f（2018）与f（2019）的值，相加即可得答案．

根据题意，函数f（x）且满足f（1+x）=-f（3-x），则有f（x）=-f（4-x），

又由f（x）为奇函数，则有f（x）=-f（-x），

则有-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），

即函数f（x）为周期为4的周期函数，

则有f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），

分析可得f（2）=-f（-2）=0，

对于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，

有g（-x）=（-x）6+f（1）cos4（-x）-3=x6+f（1）cos4x-3=g（x），

即函数g（x）为偶函数，

若函数g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零点，

则必有g（0）=f（1）-3=0，则f（1）=3，

f（2018）=f（2+2016）=f（2）=0，

f（2019）=f（3+2016）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-3，

则f（2018）+f（2019）=-3；

故选：C．