题目内容
【题目】已知指数函数满足:
,定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数的单调性并用定义加以证明;
(3)若对任意的 ,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)依题意设(
或
),由
可求出
值,再根据奇函数的定义可得,
,
,即可求出
;
(2) 按照单调性定义证明的步骤,取值-作差-变形-定号-下结论,即可证出;
(3)根据函数的奇偶性和单调性,即可将
转化为
,再利用分离参数法将
分离,转化去求
在
上的最小值,即可求出
的取值范围.
(1)依题意设(
或
),由
得,
,解得
,
所以,
.
是R上的奇函数,
, 即
,所以
,
又,即
,解得
,检验符合题意.
,
是R上的减函数.理由如下:
设,则
,
,所以
,即
.
故是R上的减函数.
(3)
,
是R上的奇函数,
,
是R上的减函数,
,因为
,
,对任意的
恒成立,因为
当且仅当
时却等号,∴
.
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