Question

12．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若不等式f（a+sinθ）+f（2+cos2θ）≥0 对任意θ∈R恒成立，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{25}{8}$]．

Answer 1

分析 根据条件，确定函数的奇偶性，利用函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用三角函数的有界性求出函数的最值即可．

解答 解：∵函数y=f（x-2）的图象关于点（2，0）成中心对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，
即函数f（x）是奇函数，
则不等式f（a+sinθ）+f（2+cos2θ）≥0 等价为f（a+sinθ）≥-f（2+cos2θ）=f（-2-cos2θ），
∵定义在R上的函数y=f（x）是减函数，
∴a+sinθ≤-2-cos2θ，
即a≤-sinθ-2-cos2θ，
设g（θ）=-sinθ-2-cos2θ，
则g（θ）=-sinθ-2-（1-2sin²θ）=2sin²θ-sinθ-3=2（sinθ-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{25}{8}$，
∵-1≤sinθ≤1
∴当sinθ=$\frac{1}{4}$时，g（θ）取得最小值-$\frac{25}{8}$，
∴要使a≤-sinθ-2-cos2θ恒成立，
∴a≤-$\frac{25}{8}$，
故实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{25}{8}$]，
故答案为：（-∞，-$\frac{25}{8}$]

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．