Question

17．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；
（Ⅱ）原式=$\sqrt{-3t+12}$+$\sqrt{t}$=$\sqrt{3}$$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{t}$，由柯西不等式可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为-b-a＜x＜b-a，
又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-b-a=2}\\{b-a=4}\end{array}\right.$，解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$\sqrt{at+12}$+$\sqrt{bt}$=$\sqrt{-3t+12}$+$\sqrt{t}$
=$\sqrt{3}$$\sqrt{4-t}$+$\sqrt{t}$≤$\sqrt{[（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}][（\sqrt{4-t}）^{2}+（\sqrt{t}）^{2}]}$
=2$\sqrt{4-t+t}$=4，
当且仅当$\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{t}}{1}$即t=1时取等号，
∴所求最大值为4

点评 本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．