Question

11．如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明$\overrightarrow{BG}$为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BG}＞|$即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．

解答 解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；
△DEF∽△ABC，又AB=2DE，
∴BC=2EF=2BH，
∴四边形EFHB为平行四边形；
∴BE∥HF，HF?平面FGH，BE?平面FGH；
∴BE∥平面FGH；
同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；
又DE∥AB；
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH，BD?平面BDE；
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；
∵CF⊥平面ABC；
∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；
∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（-1，0，0）；
连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；
∴BG⊥AC；
又CF⊥平面ABC，BG?平面ABC；
∴BG⊥CF，AC∩CF=C；
∴BG⊥平面ACFD；
∴向量$\overrightarrow{BG}=（1，1，0）$为平面ACFD的法向量；
设平面FGH的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HF}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=y=0}\end{array}\right.$，取z=1，则：$\overrightarrow{n}=（-1，0，1）$；
设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos$＜\overrightarrow{BG}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．

点评 考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．