Question

6．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-6，0），B（2，0），C（0，6），D，E分别是高CO的两个三等分点，过D，作直线FG∥AC，分别交AB和BC于G，F，连接EF．
（1）求过E，G，F三点的圆M的方程；
（2）在线段AC上是否存在点H，使得过点H存在和圆M相切的直线，并且若过点H存在两条切线时，则点H和两切点P，Q组成的∠PHQ≥90°？若存在，求出H点对应轨迹的长度；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）判断EG是△EFG的斜边，即可求出过E，G，F三点的圆M的方程；
（2）点在圆M外时，过点H存在两条切线，由点H和两切点P，Q组成的∠PHQ≥90°，得直角△HPM的一个锐角∠PHM≥45°，于是HM≤$\sqrt{2}$PM=$\sqrt{2}$r，即HM≤$\sqrt{10}$．设H（x，x+6）（-6≤x≤0），确定H的横坐标的范围，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，G（-2，0），E（0，4），F（1，3），
∴EF=$\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{20}$，FG=$\sqrt{18}$，
∴EF²+FG²=EG²，
∴EG是△EFG的斜边，
∴过E，G，F三点的圆M的方程为（x+1）²+（y-2）²=5；
（2）假设线段AC上存在点H，则H在圆上或圆外．
点在圆M外时，过点H存在两条切线，由点H和两切点P，Q组成的∠PHQ≥90°，得直角△HPM的一个锐角∠PHM≥45°，于是HM≤$\sqrt{2}$PM=$\sqrt{2}$r，即HM≤$\sqrt{10}$．
∵H在线段AC：y=x+6（-6≤x≤0）上，
∴设H（x，x+6）（-6≤x≤0），
由HM²=（x+1）²+（x+6-2）²≤10，得$\frac{-5-\sqrt{11}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{11}}{2}$，满足-6≤x≤0，
此时线段AC上满足$\frac{-5-\sqrt{11}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{11}}{2}$的点对应的线段长度为$\frac{\sqrt{22}}{2}$；
∵圆心M（-1，2）到线段AC的距离d=$\frac{|-1-2+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴直线AC被圆M截得的弦长为2$\sqrt{5-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴H点对应轨迹的长度为$\frac{\sqrt{22}}{2}$-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．