Question

11．已知数列{a_n}满足na_n=（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），a₁=1，求a_n．

Answer 1

分析 通过对na_n=（n-1）a_n-1变形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，从而$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$、…、$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵na_n=（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．