Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析。

【解析】

试题分析：（1）由于函数为二次函数，所以设，由得，则转化为，整理得：，于是根据待定系数法有：，所以，则；（2）由（1）知，当时，不等式恒成立，转化为恒成立，则只需，当时，为减函数，所以，所以；（3），对称轴为，函数为开口向上的抛物线，分析可知函数在区间上的最大值应在区间端点处取得。于是可以分和两种情况讨论即可。

试题解析：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由得，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，

得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0，所以，

∴f（x）=x2﹣x+1；

（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立；

令，

x∈[﹣1，1]，

则对称轴：，

则g（x）min=g（1）=﹣1，

∴m＜﹣1；

（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1]

对称轴为：，

①当时，即：；如图1：

g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7

②当时，即：；如图2：

g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，

综上所述：．