题目内容

【题目】已知为坐标原点,椭圆的离心率为,直线交椭圆于两点,,且点在椭圆上,当时,.

(1)求椭圆方程;

(2)试探究四边形的面积是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

1)根据点差法得,解得M坐标,代入椭圆方程,与离心率联立方程组解得2)联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理与弦长公式、面积公式得四边形的面积.

解:(1)由,故椭圆方程可化为

两式相减整理得

时,

解得

联立,

解得中点坐标为

代入椭圆方程,

整理得

解得,故椭圆的方程为.

(2)设中点为

代入椭圆

整理得

所以.

代入椭圆,得

.

①当时,设轴于点,则.

.

②当时,的面积为

面积为定值.

因为

所以四边形面积为定值3.

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