题目内容

20.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前n项和为Sn
(Ⅰ)求an及Sn
(Ⅱ)令bn=$\frac{4}{{{a_n}^2-1}}$(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn

分析 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$,解得a1,d,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
(Ⅱ)由(I)可得bn=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,利用“裂项求和”即可得出.

解答 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$,解得a1=3,d=2,
∴an=3+2(n-1)=2n+1;
Sn=$3n+\frac{n(n-1)}{2}×2$=n2+2n.  
(Ⅱ)${b_n}=\frac{4}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{4}{{(2n+1{)^2}-1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴Tn=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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