Question

9．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，顶点B₁到对角线BD₁的距离和到平面A₁BCD₁的距离分别为h和d，则$\frac{h}{d}$的取值范围为（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设底面边长为1，侧棱长为λ，过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B，Rt△BB₁D₁中可知B₁D₁和B₁D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，进而可推断BC⊥平面AA₁B₁B，BC⊥B₁G，B₁G⊥平面AB₁CD₁，可知B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得d，进而可知$\frac{h}{d}$的表达式，根据λ来确定其范围．

解答 解：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B₁作B₁H⊥BD₁，B₁G⊥A₁B．
在Rt△BB₁D₁中，B₁D₁=$\sqrt{2}$，B₁D=$\sqrt{{λ}^{2}+2}$，
由三角形面积关系得：h=B₁H=$\frac{\sqrt{2}λ}{\sqrt{{λ}^{2}+2}}$
设在正四棱柱中，由于BC⊥AB，BC⊥BB₁，
所以BC⊥平面AA₁B₁B，于是BC⊥B₁G，
所以B₁G⊥平面AB₁CD₁，
故B₁G为点到平面A₁BCD₁的距离，
在Rt△A₁B₁B中，又由三角形面积关系得d=B₁G=$\frac{λ}{\sqrt{{λ}^{2}+1}}$
于是$\frac{h}{d}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{1-\frac{1}{{λ}^{2}+2}}$，
于是当λ＞1，所以λ²+2＞3，$\frac{2}{3}$＜1-$\frac{1}{{λ}^{2}+2}$＜1，
所以$\frac{h}{d}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查了点到面的距离计算．点到平面的距离是近两年高考的一个热点问题，平时应注意强化训练．