Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1及点P（1，$\frac{1}{2}$），过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B两点分别作C的切线交于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）求△ABQ的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），因为AQ与圆C相切，求得AQ的方程为$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，同理可得BQ的方程为$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，由直线都过点Q，即可得到所求轨迹方程；
（2）易得当直线AB和Q的轨迹平行时，面积最小，求得两直线的距离和弦长AB，由面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
因为AQ与椭圆C相切，
对椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1两边对x取导数，可得x+2y•y′=0，
可得y′=-$\frac{x}{2y}$，即有AQ的方程为y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{2{y}_{1}}$（x-x₁），
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1，即有AQ的方程为$\frac{{x}_{1}x}{2}$+y₁y=1，
同理可得BQ的方程为$\frac{{x}_{2}x}{2}$+y₂y=1，
由于AQ，BQ都过点Q，
所以过点A，B的直线方程为$\frac{{x}_{0}x}{2}$+y₀y=1，
因直线AB过点（1，$\frac{1}{2}$）．
所以代入得$\frac{1}{2}$x₀+$\frac{1}{2}$y₀=1，
所以点Q的轨迹方程为：x+y=2；
（2）可得当直线AB和Q的轨迹平行时，面积最小，
设直线AB的方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-1），即有y=-x+$\frac{3}{2}$，
代入椭圆方程可得6x²-12x+5=0，
即有x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{5}{6}$，
则弦长AB=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{{2}^{2}-\frac{20}{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由平行线的距离公式可得d=$\frac{|2-\frac{3}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，
即有△ABQ的面积的最小值为$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评 本题考查椭圆方程的应用，考查直线和椭圆相切的条件，考查轨迹方程的求法，以及运算求解能力，属于中档题．