Question

(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC—中， AB = 1,；点D、E分别在上，且，四棱锥与直三棱柱的体积之比为3：5。

（1）求异面直线DE与的距离；(8分)
（2）若BC =，求二面角的平面角的正切值。(5分)

Answer 1

（1）
（2）

解法一：（Ⅰ）因，且，故面，
从而，又，故是异面直线与的公垂线．
设的长度为，则四棱椎的体积为
．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解之得．
从而．
在直角三角形中，，
又因，
故．
（Ⅱ）如图，过作，垂足为，连接，因，，故面．

由三垂线定理知，故为所求二面角的平面角．
在直角中，，
又因，
故，所以．
解法二：
（Ⅰ）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，．

设，则，
又设，则，
从而，即．
又，所以是异面直线与的公垂线．
下面求点的坐标．
设，则．
因四棱锥的体积为

．
而直三棱柱的体积为．
由已知条件，故，解得，即．
从而，，．
接下来再求点的坐标．
由，有，即     （1）
又由得．    （2）
联立（1），（2），解得，，即，得．
故．
（Ⅱ）由已知，则，从而，过作，
垂足为，连接，
设，则，因为，故
……………………………………①
因且得，即
……………………………………②
联立①②解得，，即．
则，．
．
又，故，
因此为所求二面角的平面角．又，从而，
故，为直角三角形，所以．