题目内容
【题目】已知椭圆具有如下性质：若
、
是椭圆
上关于原点对称的两个点，点
是椭圆上的任意一点，当直线
、
的斜率都存在，并记为
、
时，则与之积是与点位置无关的定值．试写出双曲线
具有的类似的性质，并加以证明．
【答案】若M、N是双曲线：
＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．
【解析】
类似的性质为：若M、N是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：
设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中
＝1.
又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝
，kPN＝
，得kPM·kPN＝·＝
，
将y2＝
x2－b2，n2＝m2－b2代入得kPM·kPN＝.
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