Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，若a₂³+a₂-1=0，a₂₀₁₄³+a₂₀₁₄+1=0，则下列四个结论正确的为①②．（把所有正确结论的序号都填上）
①S₂₀₁₅=0；②a₁₀₀₈=0；③d＞0；④S₁₀₀₆=S₁₀₀₇．

Answer 1

分析 利用a₂³+a₂-1=0，a₂₀₁₄³+a₂₀₁₄+1=0，两式相加，可得a₂+a₂₀₁₄=0，再利用等差数列的求和公式，通项的性质，即可得出结论．

解答 解：∵a₂³+a₂-1=0，a₂₀₁₄³+a₂₀₁₄+1=0，
∴a₂³+a₂-1+a₂₀₁₄³+a₂₀₁₄+1=0，
∴（a₂+a₂₀₁₄）（a₂²+a₂₀₁₄²-a₂a₂₀₁₄+1）=0，
∴a₂+a₂₀₁₄=0，
∴a₁+a₂₀₁₅=0，2a₁₀₀₈=0，∴S₂₀₁₅=0，a₁₀₀₈=0，即①②正确；
d＞0，不一定正确；
∵d≠0，a₁₀₀₈=0，∴a₁₀₀₇≠0，∴；④S₁₀₀₆=S₁₀₀₇，不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查等差数列的求和公式，通项的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．