Question

4．已知过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象有且仅有三个交点，α是交点横坐标的最大值，则$\frac{\frac{1}{2αco{s}^{2}α}}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象，从而可得π＜x＜2π时，y=-sinx，y′=-cosx，从而可得α=tanα；从而解得．

解答 解：作直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象如下，
当且仅当相切时有三个交点，
π＜x＜2π时，y=-sinx，y′=-cosx，
-cosα=$\frac{-sinα}{α}$，故α=tanα；
故$\frac{1}{2αco{s}^{2}α}$=$\frac{1}{2α}$•$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α}$
=$\frac{1}{2α}$•（α²+1）
故$\frac{\frac{1}{2αco{s}^{2}α}}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{\frac{1}{2α}（{α}^{2}+1）}{α+\frac{1}{α}}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．