Question

20．求两两不同的三元实数组（x，y，z）满足{x，y，z}={$\frac{x-y}{y-z}$，$\frac{y-z}{z-x}$，$\frac{z-x}{x-y}$}．

Answer 1

分析 不妨设x＞y＞z，可得$\frac{x-y}{y-z}$=x，$\frac{y-z}{z-x}$=y，$\frac{z-x}{x-y}$=z，由此，即可得出结论．

解答 解：不妨设x＞y＞z，则，
$\frac{x-y}{y-z}$-$\frac{y-z}{z-x}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}-（xy+yz+xz）}{（y-z）（z-x）}$＞0，
∴$\frac{x-y}{y-z}$＞$\frac{y-z}{z-x}$．
同理$\frac{x-y}{y-z}$＞$\frac{z-x}{x-y}$，$\frac{y-z}{z-x}$＞$\frac{z-x}{x-y}$
∴$\frac{x-y}{y-z}$=x，$\frac{y-z}{z-x}$=y，$\frac{z-x}{x-y}$=z
∵xyz=$\frac{x-y}{y-z}$•$\frac{y-z}{z-x}$•$\frac{z-x}{x-y}$=1，
∴y=-$\frac{1}{1+x}$，z=-$\frac{1+x}{x}$，
∴（x，y，z）=（t，-$\frac{1}{1+t}$，-$\frac{1+t}{t}$）（t≠0，t≠-1）

点评 本题考查大小比较，考查不等式知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．