Question

9．解方程：sinx+cosx=cos2x，x∈R．

Answer 1

分析 sinx+cosx=cos2x，x∈R．利用倍角公式及其因式分解可得：可得cosx+sinx=0，cosx-sinx=1，化简解出即可．

解答 解：∵sinx+cosx=cos2x，x∈R．
∴sinx+cosx=cos²x-sin²x，
∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0，
∴cosx+sinx=0，或cosx-sinx=1，
由cosx+sinx=0，可得：tanx=-1，解得x=$-\frac{π}{4}$+kπ，（k∈Z），即解集为{x|x=$-\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}；
cosx-sinx=1，化为$\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）$=-1，∴$sin（x-\frac{π}{4}）$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$x=\frac{π}{4}$+2kπ$-\frac{π}{4}$，或x=$\frac{π}{4}$+2kπ+$π+\frac{π}{4}$（k∈Z），
即解集为{x|x=2kπ，或x=$2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z}．
综上可得：原方程的解集为{x|x=2kπ，或x=$2kπ+\frac{3π}{2}$，x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z}．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．