题目内容
20．设{an}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为Sn，且5S1、2S2、S3成等差数列．（l）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，Tn为数列{bn}的前n项和．求出Tn的最小值．
分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性即可得出．
解答 解：（1）∵5S1、2S2、S3成等差数列，
∴4S2=5S1+S3，即4（a1+a1q）=5a1+${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$，
∴q2-3q+2=0，
∵q≠1，∴q=2．
又∵a4=16，即${a}_{1}{q}^{3}$=8a1=16，a1=2．
∴an=2n．
（2）解：bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{bn}的前n项和Tn=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$，
显然Tn关于正整数n是单调递增的，
∴Tmin=T1=$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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（2）依据规定，当海浪高度不少于1米时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？