题目内容

20.设{an}为公比不为1的等比数列,a4=16,其前n项和为Sn,且5S1、2S2、S3成等差数列.
(l)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$,Tn为数列{bn}的前n项和.求出Tn的最小值.

分析 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(2)利用对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性即可得出.

解答 解:(1)∵5S1、2S2、S3成等差数列,
∴4S2=5S1+S3,即4(a1+a1q)=5a1+${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$,
∴q2-3q+2=0,
∵q≠1,∴q=2.
又∵a4=16,即${a}_{1}{q}^{3}$=8a1=16,a1=2.
∴an=2n
(2)解:bn=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
数列{bn}的前n项和Tn=$(1-\frac{1}{2})$+$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$+…+$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$=1-$\frac{1}{n+1}$,
显然Tn关于正整数n是单调递增的,
∴Tmin=T1=$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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